量子态不可克隆定理不成立的证明

  • 时间:
  • 浏览:5
  • 来源:大发百人牛牛登入网址-大发百人牛牛网站

  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不位于 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆qq定理”。本文证明什儿 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态都要还可不还能不能克隆qq的,证明从前量子态可克隆qq的条件为,实际上认为量子态还可不还能不能克隆qq,“量子态不可克隆qq定理”名不符确实。本文进一步证明,位于无穷多的满足什儿 兩个 条件,你还可不还能不能“量子态不可克隆qq定理”应当改为“量子态可克隆qq定理”。2.表示兩个 正交的量子态还可不还能不能克隆qq,对于的非正交态的具体情况,现有理论这么讨论,本文全版讨论什儿 具体情况。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态还可不还能不能按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总还可不还能不能找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆qq的条件。4. 量子克隆qq算符对波函数叠加态作用,会由于自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆qq算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却还可不还能不能将纯态波函数变添加任意波函数,从前的算符可能性性位于。5. 量子态克隆qq的真正问提没得于理论上是不是还可不还能不能克隆qq,而在于克隆qq过程中线性叠加态不可输入和不可输出,什儿 可能性性性与“量子态不可克隆qq定理”的证明无关。6. 多量实验证明,微观粒子的单量子态都要还可不还能不能克隆qq的,说量子态不可克隆qq毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的都要光子的单个偏振态,它们都要还可不还能不能克隆qq的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆qq定理”是兩个 概念含糊、矛盾重重、全版错误的命题。建立在什儿 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不位于。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆qq算符,量子态不可克隆qq定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆qq定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆qq定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出什儿 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现位于要是 问提。“量子态不可克隆qq定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不位于的。

  从“量子态不可克隆qq定理”的证明过程还可不还能不能看出,该定理的前提是假定任意量子态都还可不还能不能克隆qq。你还可不还能不能给出另外兩个 量子态还可不还能不能克隆qq的条件为,不满足这兩个 条件的态才是不可克隆qq的。代表兩个 态正交,表示兩个 态不正交,它们都要还可不还能不能克隆qq的。你还可不还能不能“量子态不可克隆qq定理”名不符确实!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆qq算符定义,对于任意量子态,位于无穷多的满足的条件。对于的具体情况,现有理论认为它由于,是兩个 平庸解,这么讨论价值。本文指出并非 一定由于,并对什儿 具体情况进行全版讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都还可不还能不能表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总还可不还能不能找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆qq条件。你还可不还能不能“量子态不可克隆qq定理”实际上应当改成“量子态不可克隆qq定理”。

  要是 文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆qq定理”,然而对那此是未知的量子态,却这么明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆qq定理”的说法在字面上要是 有问提的,可能性兩个 量子态是未知的,我想知道原型和模板,又为什么会么会么还可不还能不能克隆qq呢?比如对于叠加态,可能性已知,什儿 态就已知。可能性任意,什儿 态就未知。要克隆qq什儿 态首先都要知道。这是先决条件,未知态不可克隆qq的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆qq算符的定义,即使未知,仍然还可不还能不能找到无穷多的,使之满足的条件,你还可不还能不能“未知量子态不可克隆qq定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆qq算符对波函数叠加态作用,会由于自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆qq算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆qq算符作用在任意波函数上,其形式不变。将什儿 算符作用在兩个 纯态上,却还可不还能不能将它变成任意波函数,从前的算符是不位于的。事实上量子克隆qq算符要是 兩个 抽象符号,这么具体形式。可能性其定义是自相矛盾的,在数学上根本可能性性找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都都要有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆qq的真正问提没得于理论上是不是还可不还能不能克隆qq,而在于克隆qq过程要怎样输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量由于波函数崩塌。量子态克隆qq过程首先都要输入量子态,而输入过程也还可不还能不能看成有一种测量操作。你还可不还能不能量子叠加态是不可输入的,可能性一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在什儿 意义上,谈论线性叠加态的克隆qq是这么意义,但它与“量子态不可克隆qq定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆qq定理”显然与事实不符。多量实验证明,微观粒子的单量子态都要还可不还能不能克隆qq的。激光器不但还可不还能不能克隆qq单个光子,你还可不还能不能还可不还能不能大批量地克隆qq各种光子。连续光谱激光器不但还可不还能不能克隆qq有一种单光子,你还可不还能不能还可不还能不能通过调整参数,来多量克隆qq各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就可能性是兩个 相当开花结果期图片 是什么是什么期的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的都要光子的单个偏振态,而都要所谓的线性叠加态,它们都要还可不还能不能克隆qq的。然而“量子态不可克隆qq定理”给人的一般印象却是,任何量子态都要可克隆qq,这是不真实的。

  实际量子态的克隆qq涉及相互作用,是兩个 非常比较复杂的过程,都要用Wootters定义的什儿 简单算符就能表示的。“量子态不可克隆qq定理”是兩个 概念含糊、矛盾重重、全版错误的命题,不但毫无意义,你还可不还能不能严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  你还可不还能不能本文的结论是,“量子态不可克隆qq定理”不成立,量子通讯所谓的具是不是条件保密性的物理学基础不位于。

  二.“量子态不可克隆qq定理”的证明

  “量子态不可克隆qq定理”的证明确实非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆qq模板的粒子位于任意态,另外兩个 粒子位于标准的纯态。Wootters和Zurek引入兩个 克隆qq量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式要怎样,Wootters这么说明,不还可不还能不能根据具体的具体情况确定。与图片复印的过程比较,算符为宜复印机,为宜要复印的图片,为宜白纸。

  采用相同的纯态,将克隆qq算符对另外兩个 任意态作用,按照(1)式都要:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有兩个 解,。可能性这兩个 条件满足,就还可不还能不能克隆qq。可能性不满足,就不可克隆qq。现有理论讨论了的具体情况,对的具体情况这么讨论,本文重点对的具体情况进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态还可不还能不能克隆qq。即位于兩个 算符,还可不还能不能把纯态变成态,你还可不还能不能讨论在那此具体情况下还可不还能不能克隆qq的问提。由于正交态是还可不还能不能克隆qq的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆qq机,它还可不还能不能克隆qq 态,就一定还可不还能不能克隆qq与态正交的态,但不还可不还能不能克隆qq与不正交一齐又有的态。

  你还可不还能不能按照什儿 证明,量子态都要不上还可不还能不能克隆qq,要是 有确定性地克隆qq。对于不同的量子态,都要不同的克隆qq机,亲戚要是 人还可不还能不能制造不同的克隆qq机,来克隆qq不同的量子态。你还可不还能不能所谓的“量子态不可克隆qq定理”名不符确实,实际上应当改成“通用量子态克隆qq机不位于定理”。

  三.“量子态不可克隆qq定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆qq算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆qq算符对波函数的作用满足以下关系:

这由于不改变任意波函数,即,但却还可不还能不能将纯态波函数变成,即由于是不变算符,即。可能性也是任意的,与还可不还能不能全版不一样,由于都要不变算符,应当将写为:

可能性,都要,你还可不还能不能量子克隆qq算符的定义自相矛盾,是可能性性位于的。

  亲戚要是 人还可不还能不能举兩个 具体的例子。假设要克隆qq氢原子的第一激发态,兩个 合理的做法要是 ,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

可能性式正交的,按照(2)的定义,是还可不还能不能克隆qq的,克隆qq过程是:

显然可能性性找到兩个 算符,能使 一齐成立,你还可不还能不能(8)式可能性性成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较比较复杂。要将兩个 纯态波函数变成另外兩个 波函数保持不变,又还可不还能不能将任意纯态波函数变成态波函数。在什儿 算符基础上证明“量子态不可克隆qq定理”是这么意义的。

  3. 2 量子态克隆qq算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也可能性不成立。举兩个 简单例子,氢原子的跃迁过程满足要是 禁戒规则,比如角量子数和磁量子数都要满足。你还可不还能不能从基态到诸如的激发态是可能性性的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是还可不还能不能克隆qq的。

  事实上,量子态的克隆qq是兩个 非常比较复杂的问提,根本可能性性通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆qq算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆qq定理”毫无意义。

  3. 2 位于无穷多的可克隆qq非正交态

  以下证明对于,仍然能是不是。按照(4)式,什儿 非正交态仍然还可不还能不能克隆qq。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下兩个 基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有确定本征值的本征函数位于正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上还可不还能不能严格证明,任意量子力学定态波函数都还可不还能不能表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上兩个 性质,亲戚要是 人来重新讨论“量子态不可克隆qq定理”的证明。将系统的任意兩个 波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

可能性,(13)式变成:

要使(14)式成立,都要:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数可能性是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余兩个 方程,有兩个 未知数,唯一确定。解方程得。你还可不还能不能对于的具体情况,对于任意波函数,总还可不还能不能找到另外兩个 波函数与它正交。按照Wootters对克隆qq算符的定义,它们都要还可不还能不能克隆qq的。

  对于的具体情况,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余兩个 方程,确定兩个 未知数,都要无穷多种法律依据。也要是 说对于,能是不是无穷多个与之正交,因而通用量子态克隆qq机位于。

  对于不正交,的具体情况,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的兩个 方程解得,你还可不还能不能不还可不还能不能才可能性。由于什儿 态还可不还能不能克隆qq,但一台克隆qq机不还可不还能不能克隆qq兩个 量子态。

  对的具体情况,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的兩个 方程,确定兩个 未知数,原则上是不是穷多个解。可能性它们都还可不还能不能满足(4)和(16)式,按照定义都要还可不还能不能克隆qq的。

  以下举兩个 具体例子,比如,从第兩个 式子得到。确定,按照(20)式,可得以下波函数:

这兩个 波函数是非正交的,但仍然满足可克隆qq条件,还可不还能不能用同一台克隆qq机克隆qq。

  任意确定的值,还可不还能不能得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的具体情况下,“量子态不可克隆qq定理”不成立。亲戚要是 人总还可不还能不能找到无穷多的,使它们满足可克隆qq的条件。

  3. 3 克隆qq算符作用于线性叠加态由于矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是还可不还能不能克隆qq的。在(4)式的导出过程中,能是不是单态,还可不还能不能是不是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆qq算符作用其上,还可不还能不能得到有一种结果。第有一种是克隆qq算符先对单个态作用,即:

第二种克隆qq算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是还可不还能不能实现的,理由是基矢还可不还能不能克隆qq的。(24)式则是不可实现,但这么说明由于。

  什儿 看法确实有点痛 道理,但这么找到问提的本质。可能性按照克隆qq算符的定义,以上有一种计算法律依据都要合理的。亲戚要是 人不还可不还能不能说哪有一种对哪有一种错,从逻辑上也还可不还能不能认为(24)式这么错。事实上,(11)、(21)和(22)式都要叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们都要还可不还能不能克隆qq的。

  以下来讨论(24)式可能性性成立的由于。还可不还能不能将(24)式看成克隆qq算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,还可不还能不能测量的是波函数的平方,都要:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是可能性性改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然位于。产生问提的本质由于在于,如前文所述,克隆qq算符的定义(1)式有一种要是 矛盾的。什儿 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用要是 兩个 例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆qq问提,都要先了解线性叠加态的真外部理意义。量子力学学兩个 统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由兩个 态组成,出現的几率是态出現的几率是。它并非 由于兩个 态还可不还能不能一齐出現,要是 认为在任意时刻只出現其中的兩个 态。

  比如对于氢原子中的兩个 电子,它可能性性一齐即位于基态,又位于第一激发态。这兩个 具体情况位于能量差,从基态进入激发态是都还可不还能不能量输入的。亲戚要是 人可能性性一齐克隆qq氢原子的这兩个 态,不还可不还能不能克隆qq其中的兩个 态。在什儿 意义上,谈论线性叠加态的克隆qq有一种要是 这么意义的。

  可能性按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的兩个 态。比如对于叠加态,任何单次测量不还可不还能不能得到其中的兩个 态,可能性性一齐得到兩个 态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  你还可不还能不能量子态克隆qq真正的问提在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的高度,为了还可不还能不能克隆qq兩个 量子叠加态,首先都要进行测量,以了解什儿 态的具体情况。克隆qq过程都要输入和输出量子态,而输入和输出也还可不还能不能看成是有一种测量。可能性测量由于叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是可能性性的。

  在实际的过程中,量子态的克隆qq涉及比较复杂的相互作用,都要用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆qq定理”位于过多的问提,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上都要还可不还能不能用克隆qq的,亲戚要是 人应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有确定本征值的单态都要可克隆qq的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆qq将得到其中的兩个 单态,多次克隆qq结果得到态的几率为

  不还可不还能不能从前理解,还可不还能不能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆qq算符有一种要是 自相矛盾的。将克隆qq算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却还可不还能不能将变成任意。什儿 自相矛盾的算符在数学上是可能性性位于的,由于“量子态不可克隆qq定理”成为兩个 含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆qq算符的定义,满足的量子态都要还可不还能不能克隆qq的。而在实际的过程中,满足这兩个 条件的量子态却并非 还可不还能不能克隆qq。你还可不还能不能“量子态不可克隆qq定理”不位于。

  可能性考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总还可不还能不能找到兩个 波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了还可不还能不能找到无数的波函数与它正交外,还还可不还能不能找到无数个波函数,使它们的积分满足。你还可不还能不能“量子态不可克隆qq定理”实际上应当称为“量子态可克隆qq定理”。

  将克隆qq算符作用到量子叠加态,会由于矛盾的结果。这并非 由于叠加态不可克隆qq,要是 克隆qq算符的定义有一种有问提。量子态克隆qq的真正问提在于,叠加态的输入和输出是可能性性的,什儿 可能性性性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者就看中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释问提”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…亲戚要是 人迄今为止并未形成共识。量子力学发展的什儿 二元具体情况不仅带来认识论方面的误导,你还可不还能不能法律依据备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的问提”,物理学家都要“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,解决量子观念的滥用由于的认识论上的问提和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的什儿 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是兩个 科学哲学问提,但现在它可能性都要纯理论问提。它可能性越界进入技术领域,你还可不还能不能深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都还可不还能不能就看哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有兩个 奇怪的说法,即兩个 量子态在这么被测量然后亲戚要是 人对它那此要是 能说。它是位于叠加态,而都要确定态。波尔有句名言:兩个 问提在这么被观察然后不还可不还能不能说是兩个 问提。具体地说,对于兩个 自旋为的粒子,在这么进行测量然后,不还可不还能不能说它的自旋为。可能性按照波函数的叠加公式,它或许可能性位于态。再比如对于兩个 水平偏振的光子,在这么被测量然后,亲戚要是 人不还可不还能不能说它是水平偏振的,可能性按照波函数的线性叠加公式,它可能性是垂直偏振。什儿 看法与实际全版不符,它可能性破坏物理守恒规律,由于荒诞的结果。

  比如甲向乙发射兩个 自旋为粒子,乙方接受到的一定是兩个 自旋为的粒子。可能性角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是可能性性改变的。同样,甲向乙发射兩个 水平偏振的光子,可能性乙用水平偏振器测量,什儿 光子都要通过,说明什儿 光子的偏振在运动过程中这么改变。由于是光的偏振方向要是 电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不必改变。可能性用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。由于是偏振器使光子的电场方向改变,而都要该光子这么确定的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是多量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的兩个 系统。在任意时刻,量子体系要么位于态,要么位于具体情况,可能性性即位于具体情况又位于具体情况,也可能性性一齐位于态。你还可不还能不能这有一种解释是等价的,要是 说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆qq也是这么意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的都要单量子态,可能性性是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,可能性性是叠加态。“量子态不可克隆qq定理”是兩个 全版不靠谱的理论,它把克隆qq过程用兩个 这么简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程全版不符。在真实的物理学中,要克隆qq兩个 量子态涉及比较复杂的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿放到 复印机,一按键盘就了事。在那此基本问提这么搞清楚然后,就声称量子态不可克隆qq。甚至明明知道单量子态和正交态还可不还能不能克隆qq,明明知道激光器要是 光子克隆qq机,却仍然声称量子态不可克隆qq,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量然后微观粒子还可不还能不能一齐位于多重具体情况,用测量由于波函数崩塌来解释一切。以什儿 全版错误的理论为基础,技术开发必然由于失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是兩个 典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯从前重要的事情寄托在什儿 全版不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则可能性是另外兩个 例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的可能性。按照量子力学的统计系综解释,任什么然后刻兩个 微观粒子不还可不还能不能位于某个确定的具体情况,可能性性位于叠加态,线性叠加要是 有一种统计平均的表示法律依据。按照量子力学的测量理论,任什么然后刻兩个 微观粒子还可不还能不能位于叠加态,但测量由于波函数崩塌。你还可不还能不能叠加态既不还可不还能不能输入要是 能输出,量子计算机就可能性是兩个 空头理论上的东西,在现实中难以实现。什儿 问提例如与量子计算机的消相干问提,但又有不同。从技术上说消相干是可能性的,但叠加态的输入和输出是可能性性的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称可能性做出量子计算机,你还可不还能不能都要真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。亲戚要是 人可能性要是 利用微观粒子的兩个 分立具体情况做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它要是 对传统电子计算机的模拟,而都要真正利用了叠加态,还可不还能不能进行叠加态并行计算的量子计算机。要是 量子计算机专家可能性还这么认识到什儿 点,可能性说要是 人知道什儿 点,但不你还可不还能不能说出来罢了。关于什儿 问提,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,1502-1503.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,1506年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释问提,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.